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上海立信会计学院2010～2011学年第一学期09级本科《线性代数》试题（B）（本场考试属闭卷考试，禁止使用计算器，考试时间120分钟）共3页答案请务必写在答题纸上！一．单项选择题（每小题2分，共20分）1．设方阵的行列式，则（）。（A）（B）（C）（D）都不对2．设，则（）。（A）－4（B）－2（C）2（D）43．设行列式，，则＝（）（A）（B）（C）（D）4．设为3阶方阵，且已知，则＝（）（A）（B）（C）（D）5．设矩阵，，为同阶方阵，则＝（）（A）（B）（C）（D）6．设为2阶可逆矩阵，且已知，则＝（）（A）（B）（C）（D）7．设是阶矩阵，的充要条件是（）（A）的任一阶子式都不等于0（B）的任一＋1阶子式都等于0（C）的任意个列向量线性无关（D）的任意＋1个列向量线性相关，而有个列向量线性无关8．设，，均为阶方阵且则（）（A）3（B）2（C）（D）9．设齐次线性方程组的一个基础解系是，则此方程组的另一个基础解系是（）（A）（B）（C）与等价的向量组（D）与等秩的向量组10．设为阶方阵，以下结论中（）成立。（A）与有相同的特征向量。（B）的特征向量即为方程的全部解。（C）的特征向量的线性组合仍为其特征向量。（D）若可逆，则矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量。二．填空题（每小题2分，共10分）1．设为5阶方阵，且，为的伴随矩阵，则。2．若向量组，，线性相关，则＝。3．设3阶矩阵，则。4．设齐次线性方程组为，则它的基础解系中所含向量的个数为。5．设为阶可逆矩阵，已知有一个特征值为2，则必有一个特征值为。三．是非题（每题2分，共10分）1．用初等矩阵右乘矩阵，相当于对施行一次行初等变换。（）2．设均为齐次线性方程组的解，则也是的解。（）3．若方阵可逆，则的伴随矩阵也可逆。（）4．向量组的秩是指向量组的不同的极大无关组的个数。（）5．如果，则向量组可由线性表示。（）四．证明题（10分）1．设是阶方阵，且，证明：可逆。2．设是阶矩阵的秩（），是其伴随矩阵的秩，请给出与之间的关系并证明之。五．综合题（每题10分，共50分）1．计算行列式的值。2．求向量组，，，的秩，判别其线性相关性，并求一个极大线性无关组。3．设，已知0是的一个特征值，试求的所有特征值与对应的特征向量。4．解矩阵方程。5．求线性方程组的通解。 2010－2011第一学期本科线代（B）答案一．单项选择题（每小题2分，共20分）CDCBAADACD1．设A为n阶方阵，A经过若干次初等变换后得到矩阵B，则（C）（A）必有（B）必有（C）若则必有（D）若则必有2．设，则（D）（A）－4m（B）－2m（C）2m（D）4m3．设行列式＝1，＝2，则＝（C）（A）（B）（C）（D）4．设为3阶方阵，且已知，则＝（B）（A）（B）（C）（D）5．设矩阵，，为同阶方阵，则＝（A）（A）（B）（C）（D）6．设为2阶可逆矩阵，且已知，则＝（A）（A）（B）（C）（D）7．设是阶矩阵，的充要条件是（D）（A）的任一阶子式都不等于0；（B）的任一阶子式都等于0；（C）的任意个列向量线性无关；（D）的任意个列向量线性相关，而有个列向量线性无关。8．设，，均为阶方阵且，则（A）（A）3E（B）2E（C）E（D）O9．设齐次线性方程组的一个基础解系是，则此方程组的另一个基础解系是（C）（A）（B）（C）与等价的向量组（D）与等秩的向量组10．设为阶方阵，以下结论中（D）成立。（A）与有相同的特征向量。（B）的特征向量即为方程的全部解。（C）的特征向量的线性组合仍为其特征向量。（D）若可逆，则矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量。二．填空题（每小题2分，共10分）1．设为4阶方阵，且，为的伴随矩阵，则＿。162．若向量组，，线性相关，则＝。53．设3阶矩阵，则。4．设齐次线性方程组为，则它的基础解系中所含向量的个数为。25．设为阶可逆矩阵，已知有一个特征值为2，则必有一个特征值为。三．是非题（每小题2分，共10分）TTTFF1．用初等矩阵左乘矩阵，相当于对施行一次行初等变换。√2．设均为齐次线性方程组的解，则也是的解。√3．若方阵可逆，则的伴随矩阵也可逆。√4．向量组的秩是指向量组的不同的极大无关组的个数。×5．如果，则向量组可由线性表示。×四．证明题（10分）1．设是阶方阵，且，证明：可逆。证：可逆2．设是阶矩阵的秩（），是其伴随矩阵的秩，请给出与之间的关系并证明之。证：（1）当时，；（2）当时，，的列向量是方程组（）的解，故均为零向量或成比例（），且中至少有一个不为零，所以此时的秩为；（3）当时，（），故。五．综合题（每题10分，共50分）1．＝802．求向量组，，，的秩，判别其线性相关性，并求一个极大线性无关组。解：向量组线性相关，（或或）为向量组的一个极大无关组。3．设，已知0是的一个特征值，试求特征值与对应的特征向量。解：0是的一个特征值，故又所以从而的特征值为对应的全部特征向量为，（为任意非零数）；对应的全部特征向量为（，是不全为零的数）．4．解矩阵方程。解：5．求线性方程组的通解。解：，（为任意常数）
